Hay conjuntos numéricos

Todos hemos encontrado un valor intrínseco en la matemática. Sin matemática, el mundo como lo conocemos sería imposible. Un mundo sin patrones no puede ser definido. Su divulgación y el miedo que muchos le tienen se torna a veces patético y se vuelve un teléfono roto de tanto repetirlo, pero la matemática es simple. Los números naturales que empleamos para contar se llaman N (1,2,3,4...), si a los naturales le agregamos el cero se le llaman números completos. Por el problema de la resta de uno menor con uno mayor o el problema del "deber" o  de "no tener", aparecen los Z o números enteros (...-3,-2,-1,0,1,2,3...) que no son más que los negativos de los naturales, los positivos de los naturales y el conjunto unitario 0. De las divisiones inexactas aparecen los Q o números racionales que se expresan como una fracción a/b y donde aparecen algunos cuya característica es tener infinitas cifras periódicas o no y a los que se les llama I o números irracionales. Para agruparlos a todos se les llama números reales y se les representa con una R. Todo el meollo matemático consiste en operar con cualquiera de estos conjuntos; sumar, restar, multiplicar, dividir y elevar a una potencia.

Acotaciones:

a. Los conjuntos numéricos son N, Z, Q, I, R y baste por hoy con la matemática, aunque existen los números complejos formados por una parte imaginaria y manera curiosa de resolver ecuaciones de segundo grado con determinante negativo, que no vienen al caso por hoy. Y además existen los números transfinitos de George Cantor.

b. Todo N es Z, todo Z es Q, los I forman un rancho aparte, pero todos los números son R.

c. Las formas exponenciales de los números (a a la potencia n), los polinomios (ax a la potencia n), los números decimales y hasta algunas raíces forman parte de alguno o algunos de los anteriores conjuntos o son formas especiales de ellos.

d. Existen más operaciones y operadores como la logaritmación (caso especial de las potencias), la integral o la derivada del cálculo, pero por hoy no hablaremos de más.

e. Las dos letras raras son Z por Zhalen -números en alemán- y Q del inglés quotient, cociente.

Las burbujas no son cuadradas

Una pregunta muy común en los niños es porque las burbujas no son cuadradas o cubicas más bien y otros preguntan porque los planetas son redondos -esféricos-. Explicar tal situación requiere entender que nuestro sistema trata de cumplir con las leyes desenrrolladas en el principio de nuestro universo. Las cosas no aparecen y desaparecen sino que cumplen unas leyes universales. Para más seña podemos usar algunas fórmulas geométricas que nos permitan aclarar el sentido de lo dicho. Nuestro universo busca el estado menos energético o como dijera Bertrand Russell "todo en la naturaleza busca cumplir con la ley de pereza cósmica" por eso no vemos a un río ascender en la montaña, ni a la lluvia fluyendo hacía el espacio exterior. Así, si tenemos un cubo y una esfera unitarios, el área superficial del cubo será de 6 unidades cuadradas y la de la esfera sería 3, 14, comparando con el volumen de 1 unidad cúbica contra 0'52 unidades cúbicas de la esfera. Sus razones correspondientes varían muy poco, pero es menor la de la esfera. De todas maneras, el cálculo no nos estorba para encontrar una razón práctica, pero la verdadera razón de las esferas -casi perfectas- se debe a la atracción molecular: cada molécula exige y es exigida de sus vecinas con igual intensidad. Si se imaginan una burbuja cubo, los valores de tensión en las moléculas de las aristas deberían ser impresionantes y la igualdad molecular prohíbe tales esfuerzos, todas ejercen la misma atracción sobre sus compañeras y, todo busca el estado de menor energía. Para el caso de los objetos celestes, tenemos que la esfera es la mejor forma de concentrar materia alrededor de un punto -centro gravitatorio- manteniendo la masa homogénea y lo más cerca posible de dicho centro.

Esferitas:

a. Una esfera unitaria tiene diámetro 1 y un cubo unitario arista 1.

b. Las fuerzas de interacción molecular -todas iguales- logran que se forme una esfera.
c. No quiere decir que no existan objetos celestes de otras formas, pero cuando alcanzan un cierto diámetro, empiezan a ajustarse al patrón isostático.
d. El estado de menor energía en las moléculas de composición, se refiere a la ley del mínimo esfuerzo y pertenecer a una arista obligaría a la molécula a realizar un esfuerzo extra.
e. La esfera, si queda alguna duda, es la forma más compacta por su menor relación entre su área superficial y su volumen.

Tenemos drogas psicotrópicas

Quiero referirme a la acción de las drogas en el organismo y me refiero a las drogas mágicas como el peyote y la psilocibia o las drogas naturales como la marihuana y la coca o las sintéticas como el LSD o el éxtasis o el 2cb. Todas alteran la manera de percibir la realidad actuando en las conexiones neuronales mismas y en la forma de transmisión de éstas. Unas con un tipo de mecanismo y otras con otro pero en general con el mismo principio. Hay drogas que deprimen el SNC (sistema nervioso central) y otras que lo excitan. Al final todas intervienen en las comunicaciones entre neuronas suplantando a los neurotransmisores que se encargan de llevar los impulsos nerviosos y de los sistemas de recompensa. Por ser su estructura química similar a la de los neurotransmisores, se adhieren a las neuronas y las activan, pero no de la manera que lo haría el neurotransmisor y hacen que se envíen señales anormales a través de la red neuronal lo que amplifica o altera la comunicación entre las neuronas. Las drogas generan hiperactividad en el "circuito de recompensa", un intrincado sistema cerebral que nos hace sentir placer con ciertas cosas por ejemplo con el sexo o pintando, liberando pequeñas cantidades de endorfinas, pero cuando la presencia de la droga se hace repetitiva, el sistema se adapta y disminuye su sensibilidad y hace que la persona consumidora no encuentre más placer que en el mayor consumo.

Plonazos:

a. La característica común a toda droga es su capacidad para llegar al cerebro y modificar su actividad.
b. Clasifiquémoslas en Estimulantes (cocaína, anfetaminas, cafeína, nicotina); depresoras (morfina, heroína, alcohol, calmantes) y perturbadoras (LSD, éxtasis, mescalina) estas últimas producen alucinaciones y distorsiones sensoriales más prominentemente.
c. Podría explicarse la adicción con la fácil consecución de placer ─sistema de recompensa─ que al hacerse menos sensible, requiere de mayor cantidad para lograr los mismos efectos, a esto la ciencia le llama tolerancia.
d. El síndrome de abstinencia ocurre al retirar la droga y provoca ansiedad e irritabilidad, mareos, vómitos y estrés. Los consumidores ya no buscan la droga por el estado de euforia sino para evitar el malestar relativo al síndrome.
e. Una droga X puede tener todas las pasiones de la clasificación, es decir, alguien puede alucinar con el consumo de marihuana o excitarse o deprimirse, pero la estadística está de acuerdo con la clasificación.
f. No es raro que los adolescentes sean los más vulnerables a las drogas, pues la parte encargada de tomar las decisiones, planificar y resolver problemas ─la corteza prefrontal─ es la que demora más en madurar y así no se tiene mucho control sobre los impulsos.
g. Algunas sustancias alteran además el tronco encefálico que regula la frecuencia cardíaca y la respiración y con ello ─se reducen o aceleran tales funciones─ pueden causar la muerte.
h. Los barbitúricos son derivados del ácido barbitúrico y en general son llamados así los que tienen un efecto sedante o anestésico. Muchas drogas psicotrópicas funcionan como barbitúricos.

i. Existen drogas legales como el alcohol, el tabaco, el café, las drogas hipnosedantes y hasta la marihuana en algunos países.

j. Para evitar o paliar el síndrome de abstinencia se usan drogas como la metadona y la naltrexona.

k. El popper son nitritos de isobutilo y de isopropilo o de butilo, líquidos con un fuerte olor característico que produce mareo y sensaciones agradables. Se puede confundir con la inhalación de hidrocarburos volátiles como los disolventes de pintura, el éter o la pega, básicamente afectan de forma similar y son, con pequeñas variaciones, nitritos y toluenos.

l. La Desomorfina, conocida en Rusia como ‘krokodil’ (cocodrilo) es una droga preparada a base de píldoras de codeína que se mezcla con gasolina, disolvente, ácido clorhídrico, yodo y fósforo rojo. O un alcaloide que se encuentra de forma natural en el opio, se mezcla con químicos tóxicos como el alcohol, el aceite industrial o el tíner.

m. 2C-B, 4-bromo-2,5-dimetoxifeniletilamina, bromo-mescalina o nexus es una feniletilamina psicodélica de la familia  2C (de la misma familia a la cual pertenecen la MDMA y MDA y el resto de anfetaminas).

n. Las anfetaminas son drogas estimulantes. Provocan que la comunicación entre el cerebro y el cuerpo se acelere. Como resultado, usted está más alerta y físicamente activo. Metilendioxianfetamina, MDA, "M" o "Molly" son lo mismo

Funciona una cinta magnética

Lo sabemos, sobre todo la generación del cassette (cajita), que una cinta allá adentro contenía información de audio que podíamos leer y grabar con nuestras grabadoras reproductoras. Las cintas debían moverse a una velocidad específica porque sino la lectura se hacía gangosa o en su defecto grave si iba más lento. El meollo se encuentra en que las cintas estaban hechas de plástico y recubiertas de un material ferroso o ferromagnético, óxido de hierro o cromato férrico. Cuando una bobina pasaba por ellas al grabarla, dejaba impresas diferentes polaridades o campos magnéticos que representaban, de una manera coloquial, el sonido. Así cuando se volvía a hacer pasar por una cabeza lectora, otra bobina, leía los campos magnéticos que eran convertidos en señales eléctricas y que se amplificaban al pasar por un circuito y llegar a los altavoces.

Grabaciones:

a. Los campos magnéticos impresos en una cinta de plástico recubierta con un material ferroso, pueden leerse al pasarlos por una bobina.

b. De manera similar funcionaban las video caseteras Beta y VHS. Su cinta era más amplia para contener mayor cantidad de información. La pista de audio iba separada.

c. La distancia entre Beta y VHS sólo es formato y que la cinta no permanecía pegada a la cabeza lectora aumentando su vida útil para el caso del Video Home System. Nada raro que el lema para hacernos tragar tecnología más mala fue: "Colombia territorio Beta".

d. Claro, todo tiene una vida útil, pero con el paso del tiempo podíamos ver la cabeza lectora con visibles señales del óxido de las cintas. Lo que desgastaba las cintas.
e. En una caja de una hora podrían haber hasta 100 metros de cinta.
f. En un disco de vinilo una aguja leía alturas diferentes, valles y crestas diminutas en los surcos que representaban el sonido y y un piezoeléctrico transducía tales crestas y valles a señales eléctricas que eran amplificadas. Si usas un disco viejo y lo pones a girar y pones una aguja de coser en la punta de un cono podrás oír lo que está grabado en él.

Funciona la inyección electrónica

En un carburador se realiza una mezcla mecánica de gases y combustible que ingresa al pistón para ser quemada. La mezcla la realiza un profesional moviendo las agujas -dos tornillos- que dispensan uno aire y el otro combustible. Cuando la mezcla no es ideal ocurre una quema incompleta del combustible, que contamina, no es eficiente y además incurre en multas. En el sistema de inyección electrónica una toma sensa la cantidad de gas y su temperatura y calcula la cantidad ideal de combustible -es la cantidad estequiométrica por química básica- y lo dosifica para que la quema sea lo más completa posible, lo que desemboca en un consumo más compacto y en mayor aprovechamiento del compuesto quemado.

Carburadores:

a. Un carburador es mecánico y en el se realiza la premezcla aire combustible que va al pistón, en la inyección se mide la calidad de aire y se inyecta el combustible necesario para ser quemado por tales proporciones en la recámara del pistón.

b. Un inyector no tiene un carburador en sí donde se realiza la premezcla y todo depende de un procesador y válvulas solenoides.

Tenemos radiografias

Hemos visto como nuestro médico manda una radiografía de alguna parte de nuestro cuerpo y observamos como la luz penetra nuestra piel y ofrece una imagen de nuestros huesos. La cosa es tan sencilla como un tipo de onda que es capaz de atravesar la piel, pero no los huesos, así que deja una sombra de ellos en un tipo de lámina diseñada para que se vele donde le dio la luz gracias a una sustancia fotosensible, es decir, que se ve afectada por la luz. Los rayos X son un tipo de onda de muy baja longitud y que puede ionizar o generar iones, lo que lo hace mortal usado en demasía. El descubridor Wilhelm Roentgen se topó con ellos y al no reconocerlos les llamó como las incógnitas: X. Los rayos se producen en unos cátodos y literalmente atraviesan la piel y dejan una sombra en la placa fotosensible que nos permite ver la estructura osamentaria.

Fotografías:
a. Las radiografías son fotografías hechas con rayos de longitudes de onda del orden de los 10 nanómetros llamados rayos X.
b. Tales longitudes de onda son capaces de atravesar la piel y producir una sombra de los huesos en la película fotosensible.
c. Los otros métodos de escaneo corporal pueden ser explicados de diferentes maneras, pero no dejan de ser similares a estos: El TAC o tomografía axial, usa igual rayos X.
d. El ultrasonido en 2D y 3D (ecografías) emplea sonido y su eco -podéis ver el sonar- para dar una idea de la imagen interna, aunque es más similar a un radar.
e. El TEP (tomógrafo por emisión de positrones). Detecta radiaciones o adsorciones de ciertas sustancias para los que se emplean materias radioactivas para fotografiar - por contraste- el interior de nuestros cuerpos.
f. Incluso la fluoroscopia emplea rayos X y una pantalla fluorescente para ver el interior de cosas y personas.
g. La utilización de los computadores da una fuerza mayor a estos sistemas que ya no usan placas sensibles sino bits.
h. Hay un dicho: "es tan flaco que le sacan una radiografía con un bombillo" y eso es más o menos lo que pasa, una luz potente que no puede atravesar los huesos, pero lo hace con la carne.

La gracia del número Φ

El número áureo o de oro, la proporción áurea o divina proporción. Conocido como el número Φ en homenaje al escultor Griego Fidias. Es un número irracional que se halla al dividir un segmento de recta en dos partes a y b tal que "a + b" dividido "a" sea igual a "a" dividido "b". En otras palabras que la suma de los dos segmentos sea proporcional al segmento mayor y que el segmento mayor lo sea a su vez del segmento menor, conservando la razón de proporcionalidad claro está. Aplicando unas cuantas transformaciones a lo ya dicho podemos hallar una ecuación de segundo grado para Φ, que se acerca a un número irracional: 1.6180... Euclides fue quien lo definió de la manera  más correcta y le llamó como debe llamarse: "Media y extrema razón" para quitarle o dejarle de conferir poderes o supersticiones. Realmente no es que aparezca mucho en la naturaleza, pero una casualidad o azar, permitió que dos números de Fibonacci continuos, al ser divididos, den aproximadamente Φ -sólo ocurre después del quinto término- y por ello, todas las verdades dichas de la sucesión de Fibonacci, cuadran para la sección áurea. La cantidad de pétalos en una flor: 3, 5, u 8 como 13, 21 o en fin, las espirales en una piña: 8 y 13, la distribución de las hojas en un tallo, la relación entre dos ramas consecutivas: si una es 1, la más gruesa es Φ. En fin, Lo que une a Φ con Fibonacci es una coincidencia y a veces se le da mayor importancia al primero. Existe un rectángulo áureo construido con la misma proporción y este se ajusta, construyendo infinitos rectángulos áureos, al volcar sobre él una espiral trazada en sus vértices, a las conchas de ciertos cefalópodos y se le atribuye además un carácter estético a la utilización de tal proporción en la pintura o el arte -de ahí la Φ del nombre griego de Fidias- y hasta en la música.

Proporciones:

a. El número áureo es un segmento dividido en media y extrema razón, donde el segmento mayor es al segmento medio, como el segmento medio es al segmento menor y se ajusta al número 1,62 aproximadamente, ya que tal es irracional.

b. Se le atribuyen las mismas propiedades que a la serie Fibonacci porque al dividir dos números continuos de la serie se obtiene Φ.

c. Se le atribuyen connotaciones estéticas y de alto atractivo con el que se ha tratado de explicar el rostro humano o la relación de su altura desde su ombligo con la altura total.

d. Toda forma mística de los números no es más que el resultado de azares o coincidencias y de una hábil manipulación de resultados por parte de sofistas, en términos de Esquilo.
e. No he tomado todos los nautilus, pero también asumo que la apreciación del ajuste de la espiral es cierta para muchos moluscos, pero no para todos, cuestiones evolutivas supongo.
f.  Se puede calcular el valor del número que tratamos usando Φ=(1+√5)/2.

Tenemos una serie Fibonacci

No es necesario ser un genio para construir la serie atribuida al matemático y comerciante del siglo XIII, Leonardo Pisano, basta con empezar con los números 1 y 1 y la siguiente cifra se logra con la suma de los dos anteriores, así que la tercera cifra es dos y la cuarta 3 y la siguiente cinco. Bien, así se obtiene pero lo importante es las relaciones que tal secuencia tiene con la naturaleza: La disposición de las ramas de los árboles, las semillas de las flores, las hojas de un tallo, hasta los huracanes y las formas de algunas galaxia y hasta la relación con la cantidad conocida como número áureo, que trataré en otro apartado. Por el momento baste decir que esta serie tan curiosa, aparece en la distribución de las hojas en un tallo: contando el primer tallo como 0 y hasta el siguiente sobre él, hallaremos una serie fibonacci al igual que en el número de espirales de los girasoles y de las piñas, o la distribución de las hojas de una margarita. En las falanges humanas se respeta la serie siendo su medida 2, 3, 5, 8. En el nacimiento y reproducción de los conejos: Todo esto suponiendo que la edad fértil se alcanza en un mes y que cada mes se tiene una nueva pareja de conejos nacidos de cada pareja. Háganlo, es divertido y la serie aparece como por encanto.


En serie:
a. La serie Fibonacci de un matemático del siglo XIII es: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144... El siguiente se halla sumando los dos anteriores.
b. Se halla esta serie en muchos procesos y formaciones naturales.
c. Se le atribuye magia y belleza, pero científicamente es el resultado de la evolución maximizándose y aprovechando la ley de pereza cósmica: Mayor cantidad de sol aprovechada, mayor crecimiento en menor espacio en fin. La naturaleza les premia con la proliferación y extingue las menos eficientes.

La aparición del número e

Este curioso número apareció gracias al problema del interés. Si por un monto al año obtengo un interés del 100%, si retiro a los seis meses obtengo 1 + 1/2 y vuelvo a consignar obtendré a los seis meses (1 + 1/2) x (1 + 1/2) que es 2. 25 y si aumentas la cantidad de veces que sacas tu dinero en el año podrás calcularlo como (1 + 1/n) a la potencia n y podríamos pensar que a mayor número de veces que retires tu dinero (n), tendrás cada vez más dinero, pero resulta que al aplicar el límite cuando n tiende a infinito -una operación del cálculo diferencial- obtenemos 2,718281828459045... A este número se le llama "e". Se le llama "e" por Leonhard Euler, matemático alemán, aunque también se le conoce como constante de Napier, (John Napier matemátcio alemán), que lo usó como base de los logaritmos naturales o neperianos que son de gran aplicación en cálculo, química, física... aunque fue Jakob Bernoulli, matemático suizo, quien, buscando una manera perfecta de invertir dinero, se encontró con él.

Constantes:

a. El número de Euler se obtiene (1 + 1/n) a la potencia n, a mayor valor de n, más cerca de e. Aunque también puede obtenerse como la sumatoria de (1 + 1/n!).

b Tiene muchas aplicaciones en física, matemática y química como en el cálculo infinitesimal y los logaritmos naturales.
c. La constante "e" es al cálculo como la constante π es a la geometría.
d. Sus usos son muy variables: El interés continuo, la datación por carbono 14, el crecimiento exponencial, el crecimiento logístico e incluso el enfriamiento de un cadáver.

Las gracias del número π

No es necesario sofocarse buscando una explicación a π, la cosa es tan simple como la razón del perímetro al diámetro de cualquier circunferencia. Si Tómas una circunferencia y la divides por su diámetro, obtendrás un 3 con un pedacito más, el 0.1415... Es un número irracional porque es infinito y no tiene una secuencia definida. Con computadoras se han calculado millones de cifras. La belleza de π es que permite calcular muchas cosas -bástese pensar que el perímetro, el área superficial y el volumen, de esferas y circunferencias, usa la constante π y la cantidad de cosas que fabricamos que tengan esas formas: botellas, llantas, relojes, engranajes...- y lo hallamos en la naturaleza de diversas maneras. Einstein y Coulomb usaron π para sus cálculos y no se olviden que la esfera es, por sus atributos de fuerzas equidistantes, la forma que la naturaleza le dio a muchas cosas: los planetas, las burbujas, las partículas elementales. Se usa la letra π para representarlo que es la P griega de la palabra periferia y tal vez fue el alemán Leonhard Euler (léese Oiler) quien lo hizo famoso aunque griegos y babilonios ya habían intuido que una rueda avanzaba unas tres veces su diámetro.

Periferias:
a. π proviene de la relación P/D donde P perímetro y D diámetro.
b. A=πr², P=πD, V=4πr³/3, As=4πr² siendo A área, V volumen, As área superficial y r radio.
c. También se involucra π al encontrar cilindros, conos, arcos y curvaturas.
d. El método gráfico de hallar π consiste en inscribir polígonos regulares en una circunferencia y hallar sus perímetros. π se acerca cada vez más a mayor número de lados del polígono inscrito.
e. Los planetas se mueven en forma elíptica, según las leyes de Keplero y ésta también requiere del dichoso número para sus cálculos. Además de sus partes o arcos subtendidos por un ángulo cualquiera.
f. No es un número mágico, simplemente está ligado a las formas curvas, pero eso no le da carácter de mágico.